📈 Monotonie ganzrationaler Funktionen

Wo steigt der Graph, wo fĂ€llt er – und wo liegen Hoch- und Tiefpunkte?

streng monoton steigend ↗ streng monoton fallend ↘ ● H Hochpunkt   ● T Tiefpunkt
Tippe auf den Graphen oder starte „Graph von links abfahren“.

Ergebnis der Monotonieuntersuchung

Merkwissen

Was bedeutet „monoton steigend“?
Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I streng monoton steigend, wenn fĂŒr alle x₁ < x₂ aus I gilt: f(x₁) < f(x₂).
Anschaulich: LĂ€uft man auf dem Graphen nach rechts, geht es bergauf ↗.
Sie heißt streng monoton fallend, wenn fĂŒr alle x₁ < x₂ aus I gilt: f(x₁) > f(x₂).
Anschaulich: Nach rechts geht es bergab ↘.
Wichtig: Wo der Graph waagerecht verlÀuft (Steigung 0, z. B. ganz oben im Hochpunkt), steigt er nicht und fÀllt er nicht. Solche Stellen gehören nicht in die Intervalle.

Probiere es mit „Zwei Punkte vergleichen“ aus!

Hoch- und Tiefpunkte ĂŒber die Monotonie finden
Hochpunkt H: Der Graph wechselt von steigend ↗ zu fallend ↘ – wie ein Berggipfel.
Tiefpunkt T: Der Graph wechselt von fallend ↘ zu steigend ↗ – wie eine Talsohle.
Kein Wechsel, kein Extrempunkt: Wird der Graph nur kurz waagerecht und steigt (bzw. fÀllt) danach weiter, ist das ein Sattelpunkt.

Genauer heißen sie lokaler Hoch- bzw. Tiefpunkt: Sie sind nur in ihrer Umgebung am höchsten bzw. tiefsten.

Wie schreibe ich Intervalle auf?
[a; b] a und b gehören dazu  Â·  ]a; b[ a und b gehören nicht dazu
Bei ∞ steht immer eine nach außen geöffnete Klammer: ]−∞; 2], [2; +∞[

An den Stellen, an denen der Graph waagerecht verlĂ€uft (Steigung 0), ist er weder steigend noch fallend. Diese Stellen gehören deshalb zu keinem Monotonieintervall – dort stehen offene Klammern, z. B. ]−∞; 0[, ]0; 2[.